Задача 42412 Исследовать на непрерывность функцию...

annyqweasd

2019-12-09 08:14:56

Исследовать на непрерывность функцию f(x) в точке x0:
f(x) = arctg 2/(x–1), x0 = 1

sova

2019-12-09 12:20:35

★

Область определения: x ≠ 1

Во всех точках, кроме x = 1, функция непрерывна как композиция (сложная функция) непрерывных функций:
t=2/(х-1)
и
y=arctgt

Поэтому исследуем точку х_(o)=1

Находим предел слева:
lim_(x → 1-0)f(x)=lim_(x → 1-0)arctg(2/(x-1))=-π/2

так как (2/(x-1))→ - ∞ при x → 1-0

arctg t → -(π/2) при t → - ∞

Находим предел справа:
lim_(x → 1+0)f(x)=lim_(x → +0)arctg(2/(x-1))=π/2

так как (2/(x-1))→ ∞ при x → 1+0

arctg t → (π/2) при t → ∞


предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=1
х_(o)=1 - [i]точка разрыва первого рода[/i]