Задача 40993 Тест 6. Преобразование...

vk312953739

25 октября 2019 г. в 21:09

Тест 6. Преобразование тригонометрических выражений
Вариант 1

В1. Найдите значение выражения [m] 4 \cos 750^{\circ} ctg 390^{\circ} [/m].

Ответ:

В2. Вычислите значение выражения [m] 3 tg 11 \pi + \sin \frac{43 \pi}{4} + \cos \frac{21 \pi}{4} [/m].

Ответ:

В3. Найдите значение выражения
[m] tg \left( \frac{3 \pi}{2} - 4 \alpha \right) tg(5 \pi + 4 \alpha) + 2 \cos \left( \frac{3 \pi}{2} + \alpha \right), [/m]
если [m]\sin \alpha = 0,2[/m].

Ответ:

В4. Известно, что [m] \cos \left( \frac{5 \pi}{2} + \alpha \right) = -0,6 [/m], и [m]\alpha \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right)[/m]. Найдите [m]\cos (5 \pi + \alpha)[/m].

Ответ:

C1. Найдите наименьший положительный корень уравнения
[m] \sin \left( \frac{7 \pi}{2} - 3 x \right) = \frac{\sqrt{10} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{5} - 4} [/m].

Ответ:

С2. Известно, что [m] \sin \alpha - \cos \alpha = a [/m]. Найдите значение выражения [m] \sin^{4} a + \cos^{4} a [/m].

Ответ:

sova

25 октября 2019 г. в 21:36

B1.
По формулам приведения:

cos750 ° =cos(720 ° +30 ° )=cos30 ° =[m]\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
ctg390 ° =ctg(360 ° +30 ° )=ctg30 ° =[m]\sqrt{3}[/m]

О т в е т 4·[m]\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=6[/m]

B2.

tg11π=0
По формулам приведения:

[m]sin\frac{43\cdot \pi}{4}=sin(10\pi+\frac{3\pi}{4})=sin\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

и

[m]cos(\frac{21\cdot \pi}{4})=cos(6\pi-\frac{3\pi}{4})=cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]


О т в е т. [m]0-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}[/m]

B3.
По формулам приведения:

[m]tg(\frac{3\cdot \pi}{2}-4\alpha)=ctg4\alpha[/m]

[m]tg(5\pi+4\alpha)=tg4\alpha[/m]

и
[m]ctg4\alpha\cdot tg4\alpha=1[/m]

По формулам приведения:
[m]cos(\frac{3\cdot \pi}{2}+\alpha)=sin\alpha[/m]

О т в е т. [m]tg(\frac{3\cdot \pi}{2}-4\alpha)\cdot tg(5\pi+4\alpha)+2cos(\frac{3\cdot \pi}{2}+\alpha)=[/m]

[m]=ctg4\alpha\cdot tg4\alpha+2sin\alpha=1+2sin\alpha=1+2\cdot0,2=1,4[/m]

B4.

По формулам приведения:
[m]cos(\frac{5\cdot \pi}{2}+\alpha)=-sin\alpha[/m]

По условию
[m]cos(\frac{5\cdot \pi}{2}+\alpha)=-0,6[/m]

значит
[m]sin\alpha=0,6[/m]

По формулам приведения:
[m]cos(5\pi+\alpha)=-cos\alpha[/m]

Так как sin²α+cos²α=1

cos² α =1–sin² α =1–(0,6)²=1–0,36=0,64

cos α =0,8 ( так как α ∈ (0;[m]\frac{\pi}{2}[/m])

значит
[m]cos(5\pi+\alpha)=-cos\alpha=-0,8[/m]

С1.

По формулам приведения:
[m]sin(\frac{7\cdot \pi}{2}-3x)=-cos3x[/m]

[m]\frac{\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}-4}=\frac{\sqrt{5\cdot 2}-2\sqrt{2}}{2(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}-2)}{2(\sqrt{5}-2)}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]


Уравнение принимает вид:

[m]-cos3x=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m]cos3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

[m]3x=\pm arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})+2\pi k, k \in Z[/m]

[m]3x=\pm (\frac{3\pi}{4})+2\pi k, k \in Z[/m]

[m]x=\pm (\frac{\pi}{4})+\frac{2\pi}{3} k, k \in Z[/m]

О т в е т. наименьший положительный [m]x= (\frac{\pi}{4})+\frac{2\pi}{3}\cdot 0=\frac{\pi}{4}[/m]

С2.

По условию
sin α –cos α =a

Возводим в квадрат:
sin² α –2sin α cos α +cos² α =a² ⇒

1–2sin α cos α =a² ⇒

2sin α cos α=1–a²⇒sin α cos α=[m]\frac{1-a^2}{2}[/m]


Так как
sin⁴ α +cos⁴ α =(sin² α )²+(cos² α )²=(sin² α +cos² α )–2sin² α ·cos² α =1–2·[m](\frac{1-a^2}{2})^2=1-\frac{(1-a^2)^2}{2}

=\frac{2-1+2a^2-a^4}{2}=\frac{1+2a^2-a^4}{2}[/m]