Задача 17007 Найдите площадь фигуры ограниченные...
Условие
Решение
в точке (х_(о); f(x_(o)) имеет вид:
y - f(x_(o))=f`(x_(o))* (x-x_(o))
Находим
f(x_(o))=x^2_(o)+2
f`(x)=2x
f`(x_(o))=2x_(o)
Уравнение касательной к кривой y=x^2+2 в точке (x_(o);f(x_(o)) принимает вид
y - x_^2(o)-2=2x_(o)* (x-x_(o))
или
у=2x_(o)x+2-x^2_(o)
Так как по условию касательная проходит через точку (2;2) подставим координаты этой точки в полученное уравнение и найдем х_(о)
2=2х_(о)*2 +2 -x^2_(o)
2х_(о)*2 -x^2_(o)=0
х_(о)=0 или х_(o)=4
Уравнения касательных
в точке х_(о)=0 прямая, параллельная оси Ох: у=2
в точке х_(о)=4 у=8х-14
S=S( криволинейного треугольника ОРК)-S( прямоугольного треугольника MPK)
S( криволинейного треугольника ОРК)=
численно равна площади криволинейного треугольника ограниченного параболой у=x^2
и отрезком оси ох [0;4], т. е равна
=∫^4_(0)(x^2)dx =(x^3/3)|^4_(0)=64/3
S( прямоугольного треугольника MPK)=(1/2)MP*KP=
=(1/2)*(4-2)*(18-2)=(1/2)*2*16=16
О т в е т. (64/3)-16=16/3
