Задача 35521 Используя методы дифференциального...

vk158182350

8 апреля 2019 г. в 15:18

Используя методы дифференциального исчисления, исследуйте функцию и постройте ее график

sova

8 апреля 2019 г. в 15:59

★

Область определения функции
(0;+∞)

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
область определения не является симметричной относительно 0.

3. Точки пересечения с осью Ох

y=0 ⇒ 3lnx=0⇒x=1

(1;0)– точка пересечения и осью Ох


4. Асимптоты

x=0 – правосторонняя вертикальная асимптота
так как
imx→+0(y)= + ∞

Горизонтальная асимптота:

y=0
так как
limx→∞(3lnx)/√x= ∞/∞
=применяем правило Лопиталя:
=limx→∞(3lnx)`/(√x)`=limx→∞(3/x)/(1/(2√x))=6/√x=0

(очень медленно, но стремится к 0 на +бесконечности)

Наклонной асимптоты нет:
k=limx→∞f(x)/x=limx→∞(3lnx)/(х·√x= ∞/∞
=применяем правило Лопиталя:
=limx→∞(3lnx)`/(x·√x)`=limx→∞(3/x)/(3/2)√x=

=limx→∞(3/(x·√x)=0



5.Интервалы монотонности и экстремумы

y`=3·(lnx)`·√x–(√x)`·lnx)/(√x)²

y`=3(2–lnx)/(2x)
lnx=2
x=e²
Расставляем знак производной:
(0) _+__ (e²) __–__

x=e² – точка максимума.

y`>0 при 0<x<e²
Функция возрастает на (0;e²)

y`<0 при x>e²
Функция убывает на (e²;+ ∞)

6.
Интервалы выпуклости, точки перегиба

y``=(3/2)·((2–lnx)`·(x) – (x)`·(2–lnx))/(x)²

y``=(3/2)·((–1–2+lnx)/x²)


y``=(–1–2+lnx)/x²

y``=0
lnx=3
x=e³ – точка перегиба, производная меняет знак с – на +

y`` < 0 на (0;e³)
Кривая выпукла вверх на (0;e³)


y``>0 на (e²;+ ∞)

Кривая выпукла вниз на (e²;+ ∞)