Задача 10682 Найдите все значения k, при каждом из...

slava191

20 октября 2016 г.

Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение (6k–(2–3k)cost)/(sint–cost) = 2 имеет хотя бы одно решение на отрезке [0; π/2]

SOVA

21 октября 2016 г.

★

ОДЗ: sint≠cost ⇒ t≠ π/4+πk, k∈Z.
Перепишем уравнение в виде:
6k–(2–3k)cost=2(sint–cost);
2sint=3k(cost+2) ⇒ k=g(t)
g(t)=2sint/3(cost+2)
Исследуем функцию g(t) на монотонность на [0; π/2]
g`(t)=(2/3)·(((sint)`·(cost+2)–sint·(cost+2)`)/(cost+2)²)=

=(2/3)·((cos²t+2cost+sin²t)/(cost+2)²)=

=(2/3)·((2cost+1)/(cost+2)²) > 0 так как cost > 0 на [0; π/2]
Значит, функция g(t) монотонно возрастает и принимает каждое свое значение от 0 до 1/3 ровно 1 раз.
При t=0 g(0)=0
при t=π/2 g(π/2)=1/3

Согласно ОДЗ t≠ π/4
При t=π/4 g(t)=(4√2–2)/21.
О т в е т. [0; (4√2–2)/21)U(4√2–2)/21;1/3]