Задача 10651 Точки B1 и C1 лежат на сторонах...

slava191

19.10.2016

Точки B1 и C1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причём АВ1:В1С = АС1:С1В. Прямые BB1 и CCi
пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника АВС, если известно, что AB1:B1C= АC1:C1В = 1:4 .

SOVA

20.10.2016

★

Пусть АВ1:В1С = АС1:С1В=k.Обозначим АВ1=х; АС1=у. Тогда С1В=ky; B1C=kx. Cм. рисунок.
S( ΔABB1)=S( ΔACC1)=((1+k)•x•y•sin∠A)/2.
Так как
S(ΔABB1)=S(AB1OC1)+S(ΔC1OB) и
S(ΔAСС1)=S(AB1OC1)+S(ΔВ1OС), то
S(ΔC1OB) = S(ΔВ1OС).
Проведем высоты OD в ΔC1OB и ОF в ΔB1OC.
S(ΔC1OB)=ky •OD/2= kx•OF/2=S(ΔВ1OС)⇒y •OD=x•OF⇒
S(ΔAC1O) = S(ΔAВ1O)=S1
Тогда
S(ΔC1OB) = S(ΔВ1OС)=kS1.

C другой стороны,
S(ΔAC1O) =(y•AO•sin∠C1AO)/2=
=(x•AO•sin∠B1AO)/2= S(ΔAВ1O)⇒
y•sin∠C1AO=x•sin∠B1AO

S(ΔAA1B)=(AB•AA1•sin∠C1AO)/2=(k+1)y•AA1•sin∠C1AO;
S(ΔAA1C)=AC•AA1•sin∠B1AO/2=
=((k+1)x•AA1•sin∠B1AO)/2.
В силу y•sin∠C1AO=x•sin∠B1AO
получаем
S(ΔAA1B)=S(ΔAA1C)
Значит и S(ΔОA1B)=S(ΔОA1C)
Так как у треугольников ОA1B и ОA1C площади равны, общая высота,то и основания A1С и A1B равны.

б)AB1:B1C= АC1:C1В = 1:4
Обозначим АВ1=х; В1С=4х; АС=5х.
АС1=у; С1В=4у; АВ=5у.

S(ΔAC1O) = S(ΔAВ1O)=S1
Тогда
S(ΔC1OB) = S(ΔВ1OС)=4S1.

S(ΔABC)=(AB•AC•sin∠A)/2=(5x•5y•sin∠A)/2=
=(25xy•sin∠A)/2
S(ΔABB1)=(AB•AB1•sin∠A)/2=(5y•x•sin∠A)/2=
=(5xy•sin∠A)/2;
S(ΔABB1)=S1+S1+4S1;
6S1=(5xy•sin∠A)/2
2S1=S(четырехугольника АВ1ОС1)=(5xy•sin∠A)/6
S(четырехугольника АВ1ОС1):S(ΔABC)=
(5/6):(25/2)=1:15
О т в е т. 1:15.