Задача 36909 Найдите все значения а, при каждом из...

vk134969093

11 мая 2019 г. в 18:08

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
4(ax–x²) + 1/(ax–x²) +4 =0
имеет ровно 2 различных корня на промежутке [–1;1).

sova

11 мая 2019 г. в 19:06

★

Дано уравнение, сводящееся к квадратному с помощью замены:

ax–x²=t

Тогда

4t+(1/t)+4=0

(4t²+4t+1)/t=0

(2t+1)²/t=0

2t+1=0
t ≠ 0

t=–1/2

ax–x²=–1/2

Задача сводится к другой задаче.

При каком значении параметра а уравнение

ax–x²=–1/2

ax–x²≠ 0 ⇒ х·(a – x)≠ 0⇒ х≠ 0 и х≠ а

имеет ровно два различных корня на [–1;1)

аx=x²–(1/2)

a=x – 1/(2x)

Решаем графически

а=f(x)

Строим прямую y=a
и
Строим график f(x) = x – (1/2x)

Применяем исследование функции с помощью производной.

y`=1–(–1/2x²)

y`=(2x²+1)/(2x²)>0 при любом х.

Функция монотонно возрастает на (– ∞ ;0) и на (0; + ∞)

Строим полосу, ограниченную х=–1 и х=1

При х=–1
y=–1+(1/2)=–1/2
При х=1
y=1–(1/2)=1/2

Т. е [–1;0) U(0;1) → [–1/2;0) U(0;1/2)

Значит при a ∈ [–1/2;0) U (0; 1/2) уравнение имеет два корня.