Задача 12547 Найдите наименьшее натуральное а такое...

vk177754812

25.12.2016

Найдите наименьшее натуральное а такое ,что выражение а(а+12)(а+24)(а+36)(а+48) делится на 10^6.

SOVA

25.12.2016

★

10^6=2^6•5^6
Значит, а – четное
Пусть а=2n
а(a+12)(a+24)(a+36)(a+48)=
=2n(2n+12)(2n+24)(2n+36)(2n+48)=
=2^5•n(n+6)(n+12)(n+18)(n+24) – не кратно 2^6
Поэтому пусть а=4n
а(a+12)(a+24)(a+36)(a+48)=
=4n(4n+12)(4n+24)(4n+36)(4n+48)=
=4^5•n(n+3)(n+6)(n+9)(n+12)– кратно 4^5=2^(10), значит кратно 2^6 при любом n.
Произведение n(n+3)(n+6)(n+9)(n+12) должно быть кратно 5^6
значит, наибольший множитель (n+12)должен быть кратным 5^6.
n=5^6–12=15 625 - 12= 15613
a=4n=4•15 613=62452

О т в е т. а=62452