Задача 33724 ...

leydi09

2019-02-19 21:55:30

∫ (x³ / x³ + 8) dx

sova

2019-02-19 22:33:32

Это неправильная дробь.
Выделяем целую часть
x^3/(x^3+8)=(x^3+8-8)/(x^3+8)=1 - (8/(x^3+8))

Дробь(1/(x^3+8)) надо разложить на простейшие

Раскладываем знаменатель на множители:
x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)

Тогда подынтегральная дробь(1/(x^3+8)) раскладывается на две дроби

(1/(x^3+8)) = (A/(x+2)) + (Mx+N)/(x^2-2x+4)

Приводим правую часть к общему знаменателю

Получим две дроби с равными знаменателями равны.

Приравниваем числители:

1= A*(x^2 -2x+4)+(Mx+N)(x+2)

1=Ax^2-2Ax+4A+Mx^2+Nx+2Mx+2N

1=(A+M)x^2+(N+2M-2A)+4A+2N


Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
при x^2
0=A+M
при x
0=N+2M-2A
при x^0
1=4A+2N

M=-A
N=(1-4A)/2

и подставляем в среднее

0=(1-4А)/2 - 2A-2A
1-4A=8A
A=1/12
M=-1/12
N=1/3

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ x^3dx/(x^3+8)=∫( 1 - (8/12)*(1/(x+2)) - 8*((-x/12)+(1/3))/(x^2-2x+4))dx=

Интеграл от суммы равен сумме интегралов

= x - (2/3)ln|x+2| +(8/24) ln|x^2-2x+4| -(8/(4sqrt(3)))arctg((x-1)/sqrt(3))

- о т в е т

Как считали последний интгерал:

Выделяем полный квадрат в знаменателе последней дроби:

x^2-2x+4=(x^2-2х+1)+3=(x-1)^2 +3

∫ ((-x/12)+(1/3))dx/(x^2-2x+4)= -(1/12) ∫(x-4)dx/)((x-1)^2+3)
Замена
x-1=u
dx=du
x= u +1


=(-1/12)∫ (u+1-4)du/( u^2+3)=

=(-1/12)*(1/2)∫2udu/(u^2+3)+(3/12)*∫ du/( u^2+3)

=(-1/24)ln |u^2+3|+(1/(4sqrt(3)))arctg(u/sqrt(3))

=(-1/24) ln|x^2-2x+4| +(1/(4sqrt(3)))arctg((x-1)/sqrt(3))