Задача 33724 ...

leydi09

19 февраля 2019 г. в 21:55

∫ (x³ / x³ + 8) dx

sova

19 февраля 2019 г. в 22:33

Это неправильная дробь.
Выделяем целую часть
x³/(x³+8)=(x³+8–8)/(x³+8)=1 – (8/(x³+8))

Дробь(1/(x³+8)) надо разложить на простейшие

Раскладываем знаменатель на множители:
x³+8=(x+2)(x²–2x+4)

Тогда подынтегральная дробь(1/(x³+8)) раскладывается на две дроби

(1/(x³+8)) = (A/(x+2)) + (Mx+N)/(x²–2x+4)

Приводим правую часть к общему знаменателю

Получим две дроби с равными знаменателями равны.

Приравниваем числители:

1= A·(x² –2x+4)+(Mx+N)(x+2)

1=Ax²–2Ax+4A+Mx²+Nx+2Mx+2N

1=(A+M)x²+(N+2M–2A)+4A+2N


Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
при x²
0=A+M
при x
0=N+2M–2A
при x⁰
1=4A+2N

M=–A
N=(1–4A)/2

и подставляем в среднее

0=(1–4А)/2 – 2A–2A
1–4A=8A
A=1/12
M=–1/12
N=1/3

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ x³dx/(x³+8)=∫( 1 – (8/12)·(1/(x+2)) – 8·((–x/12)+(1/3))/(x²–2x+4))dx=

Интеграл от суммы равен сумме интегралов

= x – (2/3)ln|x+2| +(8/24) ln|x²–2x+4| –(8/(4√3))arctg((x–1)/√3)

– о т в е т

Как считали последний интгерал:

Выделяем полный квадрат в знаменателе последней дроби:

x²–2x+4=(x²–2х+1)+3=(x–1)² +3

∫ ((–x/12)+(1/3))dx/(x²–2x+4)= –(1/12) ∫(x–4)dx/)((x–1)²+3)
Замена
x–1=u
dx=du
x= u +1


=(–1/12)∫ (u+1–4)du/( u²+3)=

=(–1/12)·(1/2)∫2udu/(u²+3)+(3/12)·∫ du/( u²+3)

=(–1/24)ln |u²+3|+(1/(4√3))arctg(u/√3)

=(–1/24) ln|x²–2x+4| +(1/(4√3))arctg((x–1)/√3)