Задача 52975 Исследуйте функцию на экстремум /...

vk284147118

6 августа 2020 г. в 14:47

Исследуйте функцию на экстремум / f(x)=4x³–12x³–3

sova

6 августа 2020 г. в 15:13

ОПЕЧАТКА в условии:
f (x)=4x³–12x²–3

f `(x)=(4x<sup>3</sup>–12x<sup>2</sup>–3)`

Применяем правила вычисления производных:
производная суммы равна сумме производных

f `(x)=(4x<sup>3</sup>)`+(–12x²)`+(–3)`

постоянный множитель можно выносить за знак производной:

f`(x)=4(x<sup>3</sup>)`–12(x²)`–(3)`

По таблице:
(x³)`=3x<sup>2</sup>
(x<sup>2</sup>)`=2x
(C)`=0 ⇒ (3)`=0


y`=4·3x³–12·2x

y`=12x²–24x

y`=12x·(x–2)

y`=0

12x·(x–2)=0

x=0 или x–2=0 ⇒ x=2

Это точки, в которых производная равна 0.
Чтобы узнать есть в них экстремум или нет надо применить
теорему ( достаточное условие существования экстремума ):
если в точке х_о производная равна 0
и
при переходе через точку х_о производная меняет знак + на –,
то х_о – точка максимума
( если же производная меняет знак – на +, то х_о – точка минимума)

В других случаях (при смене знака + на + или – на – ) экстремума нет


Находим знак производной.

y`=12x²–24x

Производная – то же функция.

В данном случае это квадратичная функция, графиком служит парабола, ветви вверх

Нашли нули этой функции: x=0; x=2