Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 42531 1+(y')^2=2yy' , y(1)=1; y'(1)=1...

Условие

1+(y')^2=2yy' , y(1)=1; y'(1)=1

математика 1662

Все решения

(y`)^2-2y*y`+1=0
y`=t

t^2-2yt+1=0
D=4y^2-4

t=(2y ± 2sqrt(y^2-1))/2

t=y ± sqrt(y^2-1)

Два уравнения:

[i]первое[/i]
y`=sqrt(y^2-1) ⇒ dy/dx=sqrt(y^2-1) ⇒ dy/sqrt(y^2-1)=dx

Интегрируем

∫ dy/sqrt(y^2-1)= ∫ dx

[blue]x=C+ln|y+sqrt(y^2-1)|[/blue]

[i]второе[/i]

y`=-sqrt(y^2-1) ⇒ dy/dx=-sqrt(y^2-1) ⇒ -dy/sqrt(y^2-1)=dx

Интегрируем

- ∫ dy/sqrt(y^2-1)= ∫ dx

[blue]x=C-ln|y+sqrt(y^2-1)|[/blue]

Начальные условия:

y(1)=1 ⇒ 1=C+ln|1+sqrt(0)| ⇒ C=1

и

во втором случае:
1=C-ln|1+sqrt(0)| ⇒ C=1

Зачем даны вторые : не знаю

Решение дифференциального уравнения первого порядка имеет одну константу.
Начальное условие обычно одно.


Решение дифференциального уравнения второго порядка имеет две константы.
Начальное условие содержит два условия для y и для y`

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК