Задача 44635 Решите 65 номер пожалуйста...
Условие
Решение
Все решения
{|x-1|>0 ⇒ x ≠ 1
{|x-1| ≠ 1 ⇒ x-1 ≠ ± 1 ⇒ x ≠ 0; x ≠ 2
{(x-3)^2>0 ⇒ x ≠ 3
{5^(x)+31≠0 так как 5^(x)+31 >0 при x ∈ (- ∞ ;+ ∞ )
{5^(x+1)-1 ≠ 0 ⇒ 5^(x)*5≠1 ⇒ 5^(x)≠5^(-1) ⇒ x≠ -1
____ (-1) ___ (0) ___ (1) ____ (2) ____ (3) ____
x ∈ (- ∞ ;-1) U(-1;0)U(0;1)U(1;2)U(2;3)U(3;+ ∞ )
[i]Решаем первое неравенство системы:[/i]
log_(|x-1|)(x-3)^2 ≤2* log_(|x-1|)(|x-1|) ( так как 1=log_(a)a)) ⇒
log_(|x-1|)(x-3)^2 ≤ log_(|x-1|)(|x-1|)^2
Если |x-1| >1, т. е [b]x <0 или x > 2[/b] логарифмическая функция [i]возрастает[/i] и
(x-3)^2 ≤ (|x-1|)^2
x^2-6x+9 ≤ x^2-2x+1
-4x ≤ -8
x ≥ 2
c учетом [b]x <0 или x > 2[/b] получаем ответ этого случая
[b]x > 2[/b]
Если 0 < |x-1|<1 ⇒ [b]0 < x < 1; 1 < x < 2 [/b]⇒ логарифмическая функция [i]убывает[/i] и
(x-3)^2 ≥ (|x-1|)^2
x^2-6x+9 ≤ x^2-2x+1
-4x ≥ -8
[b]x ≤ 2[/b] c учетом [b]0 < x < 1; 1 < x < 2 [/b]
получаем ответ этого случая [b]0 < x < 1; 1 < x < 2 [/b]
Объединение ответов первого и второго случая дает ответ первого неравенства:
(0;1)U(1;2)U(2;+ ∞ )
c учетом ОДЗ:
[red](0;1)U(1;2)U(2;3)U(3;+ ∞ )[/red]
[i]Второе неравенство системы:[/i]
[m]\frac{1}{5^{x}+31}\leq \frac{4}{5^{x+1}-1}[/m]
[m]\frac{1}{5^{x}+31}-\frac{4}{5^{x}\cdot 5-1}\leq 0[/m]
Приводим к общему знаменателю:
[m]\frac{5^{x}\cdot 5-1-4(5^{x}+31)}{(5^{x}+31)(5^{x}\cdot 5-1)}\leq 0[/m]
[m]\frac{5^{x}\cdot 5-1-4\cdot 5^{x}-124)}{(5^{x}+31)(5^{x}\cdot 5-1)}\leq 0[/m]
[m]\frac{5^{x}-125)}{(5^{x}+31)(5^{x}\cdot 5-1)}\leq 0[/m]
так как 5^(x)+31 >0
[m]\frac{5^{x}-125)}{5^{x}\cdot 5-1}\leq 0[/m]
Решаем методом интервалов.
Нули числителя:
5^(x)-125=0
5^(x)=5^3
x=3
Нули знаменателя найдены ранее
x=-1
Расставляем знаки:
_+__ (-1) __-__ [ 3] __+__
x ∈ (-1;3]
C учетом ОДЗ:
[green]x ∈ (-1;0)U(0;1)U(1;2)U(2;3)[/green]
Решение системы- пересечение множеств:
[red](0;1)U(1;2)U(2;3)U(3;+ ∞ )[/red] и [green] (-1;0) U(0;1) U(1;2) U(2;3)[/green]
О т в е т.(0;1) U(1;2) U(2;3)