Задача 32324 Вычислить с помощью двойного интеграла в...

qwerqwer1234

2018-12-23 12:55:26

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (a>0).

(x^2+y^2)^2=a^2(2x^2+3y^2)

sova

2018-12-23 13:11:30

★

x=rcos φ
y=rsin

x^2+y^2=r^2

r^4=a^2*r^2(2cos^2φ +3sin^2φ )

r^2=a^2(2cos^2φ +3sin^2φ )
r=asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )- уравнение данной кривой
в полярных координатах
0 ≤ φ ≤ 2π

S= ∫ ∫ _(D)dxdy=

= ∫ ^( 2π)_(0)( ∫^(asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )) _(0)asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )dr)d φ =

= ∫ ^( 2π)_(0) asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )*r |^(asqrt(2cos^2φ +3sin^2φ )) _(0)d φ =


=a^2 ∫ ^( 2π)_(0) (2cos^2φ +3sin^2φ)d φ =

[ 2cos^2 φ +2sin^2 φ =1 ]

=a^2 ∫ ^( 2π)_(0) (2 + sin^2φ)d φ =

[sin^2 φ =(1-cos2 φ )/2]=

=a^2 ∫ ^( 2π)_(0) ((5/2)-(1/2)cos2 φ)d φ =

=a^2 * ((5/2) φ -(1/4)sin2 φ)|^( 2π)_(0)=5*πa^2