Задача 52883 log^2 2 16/x=5+log2 8/x^2...
Условие
Все решения
{[m]\frac{16}{x}>0[/m] ⇒ x >0
{[m]\frac{8}{x^2}>0[/m] ⇒ x ≠ 0
ОДЗ: [red]х>0[/red]
[i]По свойству логарифма частного и логарифма степени[/i]:
[m]log_{2}\frac{8}{x^2}=log_{2}8-log_{2}x^2=3-2log_{2}|x|=[/m]
(так как согласно ОДЗ: [red]х>0[/red][m])=3-2log_{2}x[/m]
[m]log_{2}\frac{16}{x}=log_{2}16-log_{2}x=4-log_{2}x[/m]
тогда
[m]log^2_{2}\frac{16}{x}=(4-log_{2}x)^2=16-8log_{2}x+log^2_{2}x[/m]
Уравнение принимает вид:
[m]16-8log_{2}x+log^2_{2}x=5+3-2log_{2}x[/m]
[m]log^2_{2}x-6log_{2}x+8=0[/m]
Квадратное уравнение:
D=36-32=4
[m]log_{2}x=2[/m] или [m]log_{2}x=4[/m]
[m]x=2^2[/m] или [m]x=2^4[/m]
[m]x=4[/m] или [m]x=16[/m] оба корня удовл ОДЗ
О т в е т. 4; 16
