Задача 15354 4^(cosx)+4^(sqrt(1-sin^2x)) = 5/2...

vk62559548

26.04.2017

4^(cosx)+4^(sqrt(1-sin^2x)) = 5/2

SOVA

26.04.2017

sqrt(1-sin^2x)=sqrt(cos^2x)=|cosx|
Уравнение
4^(cosx)+4^(|cosx|)=5/2
Раскрываем модуль
1)
Если cosx больше или равно 0, |cosx|=cosx
4^(cosx)+4^(cosx)=5/2
2*4^(cosx)=(5/2)
4^(cosx)=(5/4)
4^(cosx)=4^(log_(4)(5/4))
cosx=log_(4)(5/4) (log_(4)(5/4) > log_(4)1=0)
x=± arccos(log_(4)(5/4))+2πk, k∈Z
2)
Если соsx < 0, то |cosx|=-cosx
4^(cosx)+4^(-cosx)=(5/2)
Замена переменной
4^(cosx)=t
t > 0
t+(1/t)=(5/2)
2t^2-5t+2=0
D=25-4*2*2=9
t=(5-3)/4=1/2 или t=(5+3)/4=2
4^(cosx)=(1/2)
2^(2cosx)=2^(-1)
2cosx=-1
cosx=-1/2 (-1/2 < 0, уд. условию сosx < 0)
x=± (2π/3)+2πn, n∈Z

или

4^(cosx)=2
2^(2cosx)=2^1
2cosx=1
cosx=1/2 ( 1/2 > 0 не удовл усл. сosx < 0)

О т в е т. x=± arccos(log_(4)(5/4))+2πk, k∈Z
x=± (2π/3)+2πn, n∈Z

Указанному промежутку принадлежат корни:
- (2π/3)-2π=-8π/3;
-arccos(log_(4)(5/4))-2π;
arccos(log_(4)(5/4))-2π.