Задача 29148 ...

slava191

31.07.2018

4.3.133) Дана парабола у^2 = 4х. Через точку (5/2; 1) провести такую хорду, которая делилась бы в этой точке пополам. Составить уравнение этой хорды.

SOVA

31.07.2018

★

Пусть точки А(x_(1);y_(1)) и В(x_(2);y_(2)) - концы этой хорды.
По условию точка (5/2;1) - середина отрезка АВ.
Система уравнений:
{(x_(1)+x_(2))/2=5/2;
{(у_(1)+у_(2))/2=1;
{y^2_(1)=4x_(1) ⇒ x_(1)=y^2_(1)/4
{y^2_(2)=4x_(2) ⇒ x_(2)=y^2_(2)/4

{(y^2_(1)+y^2_(2))/8=5/2
{(у_(1)+у_(2))/2=1;

{y^2_(1)+y^2_(2)=20
{y_(1)+y_(2)=2

Возводим второе уравнение в квадрат
y^2_(1)+2y_(1)*y_(2)+y^2_(2)=4
20+2y_(1)*y_(2)=4 ⇒ 2*y_(1)*y_(2) = -16

{y_(1)+y_(2)=2 ⇒ y_(1)=2-y_(2)
{y_(1)*y_(2) = -8 ⇒(2-y_(2))*y_(2) =-8 ⇒ y^2_(2)-2y_(2)-8=0

D=(-2)^2-4*(-8)=36
y_(2)=-2 или y_(2)=4
y_(1)=4 или y_(1) =-2

x_(1)=y^2_(1)/4=4^2/4=4 или x_(1)=(-2)^2/4=1
x_(2)=y^2_(2)/4=(-2)^2/4=1 или x_(2)=(4)^2/4=4

Получили две точки:
А(1;-2) и B(4;4)

Уравнение хорды АВ как прямой, проходящей через две точки:
(x-x_(A))/(x_(B)-x_(A))=(y-y_(A))/(y_(B)-y_(A))

(x-1)/(4-1))=(y-(-2))/(4-(-2))
6*(х-1)=3*(у+2)
2х-2=у+2
2х - у - 4 = 0
О т в е т. 2х - у - 4=0