Задача 27882 Найти общее решение однородного...

u7745159243

23.05.2018

Найти общее решение однородного диффе
ренциального уравнения:
x^2 * y' = -y^2 + 2sqrt(xy^3)

SOVA

23.05.2018

★

Перепишем
y`=(-y^2/x^2)+2sqrt(y^3/x^3)

y/x=u
y=u*x
y`=u`*x+u

u`*x+u=-u^2+sqrt(u^3)
u`*x=sqrt(u^3)-u^2-u
Уравнение с разделяющимися переменными
du/(sqrt(u^3)-u^2-u)=dx/x
Интегрируем
∫ du/(sqrt(u^3)-u^2-u)= ∫ dx/x

Первый интеграл считается заменой переменной
sqrt(u)=t
u=t^2
du=2tdt
sqrt(u^3)=t^3
u^2=t^4

∫ 2tdt/(t^3-t^4-t^2)= ∫ dt/(t^2-t^3-t)=см интегрирование рациональных дробей=
=- ∫dt/t - ∫ (t-1)dt/(t^2-t+1)=
=-ln|t|-(1/2)ln|t^2-t+1|+(1/2)arctg(t-(1/2))/sqrt(3)/2) +C