Задача 36570 Определить вид дифференциального...
Условие
Решение
y`+(1/x)*y=(lnx+1)/x
Это линейное уравнение первого порядка.
Решаем однородное:
y'+(1/x)*y=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
y`=dy/dx
dy/dx=-y/x
dy/y=–dx/x
Интегрируем
∫ dy/y=– ∫dx/x
ln|y|=–ln|x|+ lnC_(1)
ln|y|=ln|C_(1)/x|
y=C_(1)/x
Применяем метод вариации произвольной постоянной
C_(1) заменяем на функцию С_(1)(х), зависящую от х
y=C_(1)(x)/x
y`=(С`_(1)(х)*x-C_(1)(x))/x^2
Подставляем в уравнение
(С_(1)`(х)*x-C_(1)(x))/x^2+(1/x)*(C_(1)(x)/x) = (lnx+1)/x
Упрощаем:
С_(1)`(х)/x = (lnx+1)/x
C_(1)`(x)= lnx+1
C_(1)(x)= ∫ (lnx+1)dx= ∫lnxdx + ∫ dx [первый интеграл считаем по частям
u=lnx; du=dx/x; dv=dx; v=x]
C_(1)(x)=x*lnx- ∫ x*(dx/x)+ ∫ dx= [b]x*lnx+C[/b]
y=(xlnx+C)/x
y=lnx+(C/x)- общее решение
0=ln1+(C/1)
C=0
y=xlnx - частное решение