Задача 35764 Найдите наибольшее значение параметра а,...

vk317126233

2019-04-12 17:10:46

Найдите наибольшее значение параметра а, при котором система уравнений х^2 + у^2 = 16, у + х^2= a имеет ровно три решения

sova

2019-04-12 18:30:12

y=a-x^2

x^2+(a-x^2)^2=16

x^4+(1-2a)x^2+a^2-16=0

Биквадратное уравнение

Решаем методом замены переменной

x^2=t

Если квадратное уравнение
t^2+(1-2a)t+a^2-16=0

имеет два корня, то обратный переход

x^2=t_(1); x^2=t_(2)
приводит к двум простейшим уравнениям.

По условию задачи должны получить три корня.

Если t_(1)>0 и t_(2) > 0 то корней будет 4
Если числа t_(1) ; t_(2) разных знаков, то корней два.

Значит, чтобы получить ровно три корня, одно из чисел равно t_(1) ; t_(2) равно 0, другое положительно.

Значит
{a^2-16=0
{2a-1>0

{a= ±4
{a>1/2

О т в е т. а=4