Задача 47165 Решить линейное дифференциальное...

vk267309506

2020-04-15 11:51:45

Решить линейное дифференциальное уравнение y'+x^2 y=x^2

sova

2020-04-15 12:16:49

★

Решаем методом Бернулли

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`+x^2*u*v=x^2

u`*v+u(v`+x^2*v)=x^2

Выбираем функцию v так,чтобы
v`+x^2*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`+x^2*v=0 ⇒ dv/dx=-x^2*v⇒ dv/v=-x^2dx ⇒ ∫ dv/v=-∫ x^2dx ⇒ ln|v|=-x^3/3 ⇒ [b]v=e^(-x^3/3)[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*e^(-x^3/3)+0=x^2

u`=x^2*e^(x^3/3)
u`=du/dx


du=x^2*e^(x^3/3)

Интегрируем:

∫ du= ∫ x^2*e^(x^3/3)dx [ [i]замена переменной[/i]: t=x^3/3; dt=(3x^2/3)dx=x^2dx; ∫ e^(t)dt=e^(t)]


[red]u=e^(x^3/3)+C[/red]



u=e^(x^3/3)+C


y=u*v

y=([red]e^(x^3/3)+C[/red])[b](-x^3/3)[/b] о т в е т.