Задача 33354 Помогите пожалуйста! Вычислить...

ggp

7 февраля 2019 г. в 17:19

Помогите пожалуйста! Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

sova

7 февраля 2019 г. в 17:44

★

раскладываем подынтегральную дробь на простейшие

(2x–3)/((x+1)·(x–2))=A/(x+1) + B/(x–2)
2x–3 =A·(x–2)+B·(x+1)
2x–3=(A+B)x –2A+B
2=A+B
–3=–2A+B
Вычитаем из первого второе
5=3А
А=5/3
В=1/3

Получаем два интеграла
(5/3) ∫² ₁dx/(x+1)– определенный интеграл, его вычисление приводит нас к числу.


=(5/3)(ln|x+1|)|²₁= (5/3) ln 3–(5/3) ln2=(5/3) ln (3/2)

и

(1/3) ∫² ₁dx/(x–2) – несобственный интеграл 2 рода с особой точкой х=2

По определению

(1/3) ∫² ₁dx/(x–2)=

=(1/3)lim_δ→0 ∫^2–δ₁dx/(x–2)=

=(1/3)lim_{δ→ 0}ln|2–δ–2|–(1/3) ln|1 – 2|=(1/3)lim_{δ→ 0}ln|–δ|= ∞ – 0 =

= ∞

Интеграл расходится
Сумма числа ( первый интеграл) и бесконечности есть ∞.
О т в е т. расходится.

Можно не раскладывать подынтегральную функцию на дроби, а раскрыть скобки в знаменателе и выделить полный квадрат.


(х+1)(х–2)=x²–x–2=(x–(1/2))²–(9/4)

∫ (2x–3)dx/(x+1)(x–2)= ∫ (2x–3)dx/((x–(1/2)²–(9/4))

Замена
x–(1/2)=t
x=t+(1/2)
dx=dt

= ∫ (2t–2)dt/(t²–(9/4))= ∫ (2t)dt/(t²–(9/4)) – ∫ 2dt/(t²–(9/4))=

=ln|t²–(9/4)| –2ln|(t–(3/2))/(t+(3/2))|

...