Задача 29879 Нужна помощь! Не могу решить 11 и 12...
Условие
Все решения
Так как x ∈[0;1]
Возводим в квадрат.
x^2*(x-a)=4x^2-(4a-2)x-2a
или
x^3-4x^2-2x=a*(x^2-4x-2)
x*(x^2-4x-2)=a*(x^2-4x-2)
x^2-4x-2=0
x_(1)=2-sqrt(6) ∉[0;1] и x_(1)=2+sqrt(6) ∉[0;1]
Уравнение x=a имеет один корень на [0;1]
при a ∈[0;1]
О т в е т. a∈[0;1]
12.
Решаем способом подстановки.
Выражаем из второго уравнения
y=(a^2-3a)/x
и подставляем в первое уравнение:
x^2 + ((a^2-3a)/x)^2=a^2
x ≠ 0 ⇒ a≠ 0 и a≠ 3
Решаем биквадратное уравнение:
x^4-a^2x^2 + (a^2-3a)^2=0
Замена переменной:
x^2=t
t^4-a^2t+(a^2-3a)^2=0
Квадратное уравнение имеет корни, если D ≥ 0
D=(a^2)^2 - 4*(a^2-3a^2)^2=применяем формулу разности квадратов=
=(a^2-2*(a^2-3a))*(a^2+2*(a^2-3a))=
=(a^2-2a^2+6a)*(a^2+2a^2-6a)=
=3a^2*(6-a)*(a-2)
3a^2(6-a)*(a-2)≥0
при a=0
t_(1)=t_(2)=0
тогда
x_(1)=x_(2)=x_(3)=x_(4)=0
а=0 не удовлетворяет требованию задачи ( два различных корня)
или
при 2 < a <3 и 3 < a < 6
t_(1)=(1/2)*(a^2- sqrt(3a^2*(6-a)(a-2))) или t_(2)=(1/2)*(a^2+ sqrt(3a^2*(6-a)(a-2)))
Так как при a≠ 0 и a≠ 3
a^2>sqrt(3a^2*(6-a)(a-2))
a^4>3a^2*(6-a)(a-2)
a^2*(4a^2-24a+36)=a^2*4*(a-3)^2 >0
То биквадратное уравнение при 2 < a <3 и 3 < a < 6
имеет 4 корня.
(см. рис.1)
При a=2 или a=6
t_(1)=t_(2)=2^2=4 или t_(1)=t_(2)=6^2=36
Уравнения
x^2=4 или x^2=36
имеют по два корня и данная система имеет два решения
( cм. рис.2)
О т в е т. a=2; a=6
