Задача 35123 Задание на картинке...

kolya

29 марта 2019 г. в 20:15

Задание на картинке

sova

29 марта 2019 г. в 20:55

★

1.
sin⁵x=sin⁴x·sinx=(sin²x)²·sinx=(1–cos²x)²·sinx

Замена переменной
cosx=t
dt=(cosx)`·dx
dt=–sinxdx
sinxdx=–dt

получим

∫ (1–t²)²·(–dt)/(3–t)= ∫ (t⁴–2t²+1)dt/(t–3)
неправильная дробь. Выделяем целую часть.

= ∫ (t³+3t²+7t+21+ (64/(t–3))dt=

= (t⁴/4)+(3t³/3)+(7t²/2)+21t+64ln|t–3|+C, t=cosx

2.

2sin²x+9cos²x=2cos²x·(t²+(9/2))

Замена переменной
tgx=t
dx/cos²x=dt

получим:

1/2∫ dt/(t²+(9/2))=

Формула ∫ dx/(x²+a²)=(1/a)· arctg (x/a); a²=9/2 a=3/√2

=(1/2)·(√2/3)arctg( √2·t/3) + C=

= (√2/6)·arctg((√2tgx)/3) + C



3.
Замена
tgx=t
x=arctg t
dx=dt/(1+t²)

1+tg²x=1/cos²x;

cos²x=1/(1+tg²x)=1/(1+t²)

sin²x=tg²x·cos²x=t²/(1+t²)

sin⁸x=(sin²x)⁴=t⁸/(1+t²)⁴
cos¹⁴x=1/(1+t²)⁷

sin⁸x/cos¹⁴ =(t⁸/(1+t²)⁴)· (1+t²)⁷= (1+t²)³·t⁸

sin⁸x dx /cos¹⁴= (1+t²)³·t⁸ · (dt/(1+t²))


получим

∫ t⁸·(1+t²)²dt= ∫ t⁸·(1+2t²+t⁴)dt= ∫ (t¹²+2t¹⁰+t⁸)dt=

=t¹³/13 + 2t¹¹/11+ t⁹/9 + C=

= (tgx)¹³/13 + 2(tgx)¹¹/11 + (tgx)¹⁰/10 + C

4.

sin²x=(1–cos2x)/2;
cos²x=(1+cos2x)/2

sin²x·cos²x=(1–cos2x)·(1+cos2x)/4=(1–cos²2x)/4=

=(1/4) – (1/4) cos²2x=(1/4) – (1/4)·(1+cos4x)/2=

=(1/4)–(1/8) –(1/8) cos4x= (1/8) –(1/8)cos4x


∫ sin²x·cos²xdx= ∫ ((1/8) –(1/8)cos4x)dx=

= (1/8)x – (1/32) · sin4x + C