Задача 36999 ...

foxy

13 мая 2019 г. в 17:02

Нужно решить 2 неравенства.
1/(log_x–1x/20 ) ≥ –1

7^ln(x2–2x) ≤ (2–x)^ln7

sova

13 мая 2019 г. в 17:43

★

ОДЗ:
{x–1>0 ⇒ x > 1
{x–1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
{x/20>0⇒ x > 0
{log_x–1(x/20) ≠ 0 ⇒ x/20≠1⇒ x≠20

ОДЗ: х ∈ (1;2) U (2;20) U (20;+∞ )

Переносим все слагаемые влево, приводим к общему знаменателю и сравниваем выражение с 0

1+log_x–1(x/20))/log_x–1(x/20) ≥ 0

1=log_x–1(x–1)

Сумму логарифмов в числителе заменим логарифмом произведения


(log_x–1 (x–1)·x/20)/(log_x–1(x/20)) ≥ 0

Применяем формулу перехода к другому основанию

log_cb/log_ca=log_ab
a>0; b>0; c>0 ;c ≠ 1; a ≠ 1

log_x/20 (x–1)·(x/20) ≥ 0

0=log_x/20 1

log_x/20 (x–1)·(x/20) ≥log_x/20 1

Можно рассмотреть два случая:
{(x/20)>1, тогда логарифмическая функция возрастает и
{(x–1)·x/20 ≥ x/20

(2)

{(x/20)< 1, тогда логарифмическая функция убывает и
{(x–1)·x/20 ≤ x/20


или


(1)
{(x/20)–1>0,
{(x–1)·(x/20) – (х/20) ≥ 0

(2)

{(x/20)–1 < 0,
{(x–1)·(x/20) – (х/20)≤ 0


В первой системе оба выражения в первом и во втором неравенстве положительны, во второ1 системе отрицательны. Значит произведение выражений положительно и вместо рассмотрения двух систем можно рассмотреть неравенство, состоящее из произведения

((x/20)–1)·((x–1)·x/20 – (x/20)) ≥ 0


((х–20)/20)· (х/20)· (х–1–1)≥ 0 ( умножаем на 20·20=400)

x·(x–2)·(x–20) ≥ 0

метод интервалов на ОДЗ

(1) _+__ (2) ___–____ (20) ___+____

О т в е т. (1;2) U(20;+ ∞)


ОДЗ:
{x²–2x>0 ⇒ x(x–2) > 0 ⇒ x < 0 или x > 2
{2–x > 0 ⇒ x < 2
ОДЗ: х ∈ (– ∞; 0)

Логарифмируем по основанию e
e>1
Логарифмическая функция с основанием e возрастает, поэтому знак неравенства не меняется:

ln 7^ln(x2–2x) ≤ ln(2–x)^ln7

Применяем свойство логарифма степени:
log_ab^k=klog_ab, a>0; a ≠ 1;b>0

ln(x²–2x)·ln7 ≤ ln7·ln(2–x)

Делим на ln7,
ln7 > 0, знак неравенства не меняется:

ln(x²–2x) ≤ ln(2–x)

x²–2x ≤ 2–x

x²–x–2 ≤ 0

D=1+8=9

корни
–1 и 2

___ (–1) __–__ (2) ___

С учетом ОДЗ получаем ответ
(–1;0)