Задача 29260 242. В осветительную сеть параллельно...

slava191

8 сентября 2018 г. в 00:00

242. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина раз­ности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех.

SOVA

8 сентября 2018 г. в 00:00

★

Пусть случайная величина X – число включенных ламп за время T.
Так как проводятся повторные независимые испытания с двумя исходами:
p=0,8
q=1–p=0,2
n=20,
это означает, что случайная величина распределена по биномиальному закону.
Значит
M(X)=np=20·0,8=16
D(X)=npq=20·0,8·0,2=3,2

Согласно неравенству Чебышева:
P(|X–M(X)| < ε) ≥ 1–(D(X)/ε²)

а) Р(|X–16| < 3) ≥ 1– (3,2/9²)=(9–3,2)/9=
=5,8/9=0,64444... ≈ 0,64
б)
Так как события | X–16| < 3 и |X–16| ≥ 3,
то
P(|X–M(X)| ≥ 3) =1– Р(|X–16| < 3) ≈

≈1 – 0, 64 = 0,36

О т в е т. а) ≈0,64; б) ≈0,36