Задача 28688 ...

vk204717778

26 июня 2018 г.

Решить дифференциальное уравнение 1–го порядка y' – y · sin(x) := y² · e^cos(x)

SOVA

26 июня 2018 г.

Делим обе части уравнения на y²:

(1/y²)y`–(1/y)sinx=e^cosx

Решаем однородное уравнение
(1/y²)y`–(1/y)sinx=0
Это уравнение с разделяющимися переменными.
dy/y=sinxdx
Интегрируем:
∫dy/y=∫sinxdx
ln|y|=–cosx + с
y=e^–cosx+c
y=e^c·e^–cosx
y=C·e^–cosx , где С=e^c

Применяем метод вариации произвольной постоянной:
y(x)=C(x)·e^–cosx

y`(x)=C`(x)·e^–cosx+C(x)·e^–cosx·(–cosx)`

y`(x)=C`(x)·e^–cosx+C(x)·e^–cosx·(sinx)

Подставляем y(x) и y`(x) в данное уравнение:

C`(x)·e^–cosx+C(x)·e^–cosx·(sinx)–
–C(x)·e^–cosx·sinx=C²(x)·e^–2cosx·e^cosx

C`(x)·e<sup>–cosx</sup>=C<sup>2</sup>(x)e<sup>–cosx</sup>
C`(x)=C²(x) – уравнение с разделяющимися переменными
dC(x)/dx=C²(x)
dC(x)/C²(x)=dx
Интегрируем
∫dC(x)/C²(x)= ∫dx
–1/С(x)=x+C
C(x)=–1/(x+C)

y=(–1/(x+C))·e^–cosx – общее решение данного уравнения