Задача 28688 Все на картинке...
Условие
Все решения
(1/y^2)y`-(1/y)sinx=e^(cosx)
Решаем однородное уравнение
(1/y^2)y`-(1/y)sinx=0
Это уравнение с разделяющимися переменными.
dy/y=sinxdx
Интегрируем:
∫dy/y=∫sinxdx
ln|y|=-cosx + с
y=e^(-cosx+c)
y=e^(c)*e^(-cosx)
y=C*e^(-cosx) , где С=e^(c)
Применяем метод вариации произвольной постоянной:
y(x)=C(x)*e^(-cosx)
y`(x)=C`(x)*e^(-cosx)+C(x)*e^(-cosx)*(-cosx)`
y`(x)=C`(x)*e^(-cosx)+C(x)*e^(-cosx)*(sinx)
Подставляем y(x) и y`(x) в данное уравнение:
C`(x)*e^(-cosx)+C(x)*e^(-cosx)*(sinx)-
-C(x)*e^(-cosx)*sinx=C^2(x)*e^(-2cosx)*e^(cosx)
C`(x)*e^(-cosx)=C^2(x)e^(-cosx)
C`(x)=C^2(x) - уравнение с разделяющимися переменными
dC(x)/dx=C^(2)(x)
dC(x)/C^2(x)=dx
Интегрируем
∫dC(x)/C^2(x)= ∫dx
-1/С(x)=x+C
C(x)=-1/(x+C)
y=(-1/(x+C))*e^(-cosx) - общее решение данного уравнения