Задача 33339 Помогите..неопределенный интеграл...
Условие
Все решения
Замена
x^(1/6)=t
x=t^6
dx=6t^5dt
sqrt(x)=t^3
∛x =t^2
получим
∫ (t^2-1)6t^5dt/(t^3*(t^2+1)= 5 ∫ (t^2-1)*t^2dt/(t^2+1)
Неправильная дробь.
Выделяем целую часть и раскладываем дробь на простейшие
(t^4-t^2)/(t^2+1)=(t^2-2)+ (2/(t^2+1))
интегрируем получим
(t^3/3)-2t+2arctgt+C=
=(sqrt(x))/3-2*(x^(1/6)+2arctg (x^(1/6))+C - о т в е т.
8б)
1/x=t
dt=(-1/x^2)dx
sqrt(x^2-16)=sqrt((1/t)^2-16)=sqrt(1-16t^2)/(t) ⇒
∫ (-dt)/sqrt(1-(4t)^2)=
замена 4t=u ⇒ t=(1/4)u ⇒ dt =(1/4)du
=( - 1/4) ∫ du/sqrt(1-u^2)=
=( - 1/4)arcsinu+C=
=(-1/4) arcsin 4*(1/x) + C
c)
замена
e^(x)+1=t
e^(x)=(t-1)
x=ln(t-1)
dx=dt/(t-1)
Получим
∫ dt/(t*(t-1))= ∫ (-(1/t)+ (1/(t-1))dt= - ln|t| + ln|t-1| +C=
= ln|(e^x)/(e^(x)+1)| + C
8d)
cosx+sinx=sqrt(2)*((1/sqrt(2))*cosx+(1/sqrt(2))*sinx)=
=sqrt(2)*(cos(π/4)*cosx+sin(π/4)*sinx)=
=sqrt(2) * cos(x-(π/4))
тогда
∫ dx/(2sqrt(2)*cos(x-(π/4))=
=(1/2(sqrt(2)))* ∫ dt/cost=
=(1/(2sqrt(2)))ln|tg(t/2)+(π/4)| + C, cм. формулу 18
t=(x-(π/4))