Задача 12678 ...

slava191

1 февраля 2017 г. в 00:00

А) На координатной плоскости Оху изобразите фигуру, заданную неравенством log_x²+y²(x+y) > 1

Б) Найдите площадь полученной фигуры.

SOVA

1 февраля 2017 г. в 00:00

★

1) ОДЗ: x+y > 0 ⇒ y > – x
Это часть плоскости, расположенная выше прямой у=–х.
x²+y² > 0 при любом х
х²+y²≠1 – точки, лежащие на окружности с центром (0;0) и радиусом 1.
Изображаем окружность пунктирной линией.

Так как 1=log_x²+y²(x²+y²), то
log_x²+y²(x+y) > log_x²+y²(x²+y²)

Применяя метод рационализации логарифмических неравенств, получаем неравенство:
(x²+y²–1)·(x+y–x²–y²) > 0

Решаем методом интервалов.
x²+y²–1=0
x²+y²=1 – уравнение окружности с центром (0;0) и радиусом R=1.
x+y–x²–y²=0
(x–(1/2))²+(y–(1/2))²=1/2 – уравнение окружности, с центром в точке (1/2; 1/2) и радиусом r=√1/2.

А)Неравенство с учетом ОДЗ задает две области ( розового цвета и зеленого цвета) на плоскости хОу ( см. рис. 1).
Б)
Площадь этих областей находим, пользуясь формулами планиметрии нахождения площади круга, половины круга, четвертой его части и площади прямоугольного равнобедренного треугольника c катетами, равными R=1
S(желтой четверти круга)=πR²/4=π/4
S(желтого сегмента)=S(желтой четверти круга)–S(прямоугольного треугольника)=(πR²/4)–(R·R/2)=
=(π/4)–(1/2)=(π–2)/4.

S(розовой области )=(1/2)S(круга R=1)–(1/2)S(круга r=√1/2)–S(желтого сегмента)=
=(π/2)–(π/4)–((π–2)/4).

S(зеленой области)=(1/2)S(круга r=√1/2)–S(желтого сегмента)=(π/4)–((π–2)/4).

S=S(розовой области)+S(зеленой области)=

=(π/2)–(π/4)–((π–2)/4)+ (π/4)–((π–2)/4)=

=(π/2)–2·((π–2)/4)=(π/2)–((π–2)/2)=(π–π+2)/2=2/2=1.
Б) О т в е т. 1