Задача 48278 ...

brightestkitty

2020-04-24 21:07:04

Решите, пожалуйста с объяснением!
Радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, равен R, а боковая грань наклонена к плоскости под углом α. Найти объем пирамиды.

sova

2020-04-24 22:53:51

★

Боковая грань наклонена к плоскости основания под углом α ⇒

∠ PNO= ∠ PMO= α

Шар вписан в пирамиду ⇒ окружность вписана в Δ MPN

Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис

⇒ ∠ SNO= α /2

Из Δ SON
ON=Rctg( α /2)

⇒ MN=2ON=2R*ctg( α /2) - сторона основания пирамиды

Из Δ PON:
PO=ON*tg α =Rctg( α /2) * tg α - высота пирамиды

V=(1/3)S_(осн)*H=(1/3)*MN^2*PO=

=(1/3)*(2R*ctg( α /2) )^2 *( Rctg( α /2) * tg α)