Задача 29990 Для каждого натурального n, не...

slava191

2018-10-06 14:21:21

Для каждого натурального n, не являющегося точным квадратом, вычисляются все значения переменной x, для которых оба числа x+sqrt(n) и x^3+1092sqrt(n) являются целыми. Найдите общее количество таких значений x. [ФТ 8]

sova

2018-10-06 16:42:23

По условию
[b] оба числа x+√n и x^3+1092√n являются целыми [/b]

Значит, их сумма - целое число

x+sqrt(n)+x^3+1092sqrt(n)=(x^3+x)+1093*sqrt(n) - целое

x*(x^2+1)+1093sqrt(n) - целое.
1093 - число простое

⇒

x^2+1 = 1093
x^2=1092
Только
x=-sqrt(1092)
удовлетворяет условию задачи

ИЛИ

разность этих чисел - целое число

x^3+1092sqrt(n)-х- sqrt(n)=(x^3-x)+1091*sqrt(n) - целое

x*(x^2-1)+1091sqrt(n) - целое.
1091 - число простое

⇒

x^2-1 = 1091
x^2=1092
Только
x=-sqrt(1092)
удовлетворяет условию задачи

n=1092 - натуральное

О т в е т. Одно число х=-sqrt(1092)