Задача 29990 Для каждого натурального n, не...

slava191

6 октября 2018 г. в 14:21

Для каждого натурального n, не являющегося точным квадратом, вычисляются все значения переменной x, для которых оба числа x+√n и x³+1092√n являются целыми. Найдите общее количество таких значений x. [ФТ 8]

sova

6 октября 2018 г. в 16:42

По условию
оба числа x+√n и x³+1092√n являются целыми

Значит, их сумма – целое число

x+√n+x³+1092√n=(x³+x)+1093·√n – целое

x·(x²+1)+1093√n – целое.
1093 – число простое

⇒

x²+1 = 1093
x²=1092
Только
x=–√1092
удовлетворяет условию задачи

ИЛИ

разность этих чисел – целое число

x³+1092√n–х– √n=(x³–x)+1091·√n – целое

x·(x²–1)+1091√n – целое.
1091 – число простое

⇒

x²–1 = 1091
x²=1092
Только
x=–√1092
удовлетворяет условию задачи

n=1092 – натуральное

О т в е т. Одно число х=–√1092