Задача 27884 Найти частное решение линейного...

u7745159243

23.05.2018

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям:
y'*sqrt(1-x^2)+y=arcsinx , y(0)=0

SOVA

23.05.2018

★

Перепишем уравнение:
y`+(y/sqrt(1-x^2))=arcsinx/sqrt(1-x^2)

y=u*v
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+u*v/sqrt(1-x^2)=arcsinx/sqrt(1-x^2)

u`*v+u*(v`+v/sqrt(1-x^2))=arcsinx/sqrt(1-x^2) (#)

Функцию v выбирают так, чтобы
v`+v/sqrt(1-x^2)=0
Уравнение с разделяющимися переменными.
dv/v=-dx/sqrt(1-x^2)
ln|v|=-arcsinx ( константу выбирают так: c=0)
v=e^(-arcsinx)

Подставляем v в уравнение
u`*e^(-arcsinx)=arcsinx/sqrt(1-x^2)
Уравнение с разделяющимися переменными.
du=(e^(arcsinx))*(arcsinx/sqrt(1-x^2))dx
u=e^(arcsinx) + C

y=(e^(arcsinx) + C)*e^(-arcsinx)
или
у=1+С*e^(-arcsinx) - общее решение линейного дифференциального уравнения.

0=1+С*e^(0)
C=-1
у=1-e^(-arcsinx) - частное решение линейного дифференциального уравнения