Задача 10468 Решите неравенство...

slava191

10 октября 2016 г. в 00:00

Решите неравенство (4^x–3·2^x+3)/((2^x)–2) + (4^x–5·2^x+3)/(2^x–4) ≤ 2^x+1

SOVA

10 октября 2016 г. в 00:00

★

ОДЗ: 2^x≠2 ⇒ x≠1
2^x≠4 ⇒ x≠2
x∈(–∞;1)U(1;2)U(2;+∞)

Замена переменной
2^x=t;
t > 0
4^x=(2²)^x=(2^x)²=t²
2^x+1=2•2^x=2t

Неравенство примет вид:
(t²–3t+3)/(t–2) + (t²–5t+3)/(t–4) ≤ 2t;
переносим 2t влево и приводим дроби к общему знаменателю:
–2(t²–6t+9)/(t–2)(t–4) ≤ 0
или
(t–3)²/(t–2)(t–4) ≥ 0
(t–3)² > 0 при любом t;
(t–3)²=0 при t=3 ⇒
(t–2)(t–4) > 0
t=3
_+_₂__[3]_₄_+__
C учетом t > 0

(0;2)U{3}U(4;+∞)

Обратная замена
0 < 2^x < 2⇒ x < 1
2^x=3 ⇒ x=log₂3
2^x > 4 ⇒ x > 2

О т в е т. (– ∞;1)U{log₂3}U(2;+∞)