Задача 45537 Найти координаты точки пересечения...

vk168651078

2020-03-28 19:49:31

Найти координаты точки пересечения плоскости, проходящей через точки A=(-1;-1;4), B=(3;1;6), C=(3;2;6) c прямой, проходящей через точки D=(5;3;6), E=(26;17;20). Ответ запишите в виде "(12;-34;5)". Без пробелов.

sova

2020-03-28 22:41:31

★

Пусть M(x;y;z)- произвольная точка плоскости АВС
Тогда векторы
vector{AM}=(x-(-1);y-(-1);z-4}=(x+1;y+1;z-4}
vector{АВ}=(3-(-1);1-(-1);6-4}={4;2;2}
vector{АC}=(3-(-1);2-(-1);6-4}={4;3;2}
лежат в одной плоскости.
Значит
[m]\begin{vmatrix} x+1 &y+1 &z-4 \\ 4 & 2 & 2\\ 4 & 3 & 2 \end{vmatrix}=0[/m]

-2x+4z-18=0
[b]x-2z+9=0[/b]


Уравнение прямой, проходящей через две точки D (x_(D);y_(D);z_(D))
и E (x_(E);y_(В);z_(E)) имеет вид:

[m]\frac{x-x_{D}}{x_{E}-x_{D}}=\frac{y-y_{D}}{y_{E}-y_{D}}=\frac{z-z_{D}}{z_{E}-z_{D}}[/m]

[m]\frac{x-5}{26-5}=\frac{y-3}{17-3}=\frac{z-6}{20-6}[/m]

Решаем систему уравнений:

[m]\left\{\begin{matrix} x-2z+9=0\\ \frac{x-5}{26-5}=\frac{y-3}{17-3}=\frac{z-6}{20-6}\\ \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} x-2z+9=0\\ \frac{x-5}{26-5}=\frac{y-3}{17-3}\Rightarrow 14x-70=21y-63\\\frac{y-3}{17-3}=\frac{z-6}{20-6}\Rightarrow y-3=z-6\end{matrix}\right.[/m]

x=11; y=7; z=10