Задача 50852 27. Решите уравнение x^(lg x) =...

annawild17

19 мая 2020 г. в 17:14

27. Решите уравнение x^{lg x} = 10000

28. Решите уравнение х^{log₃(x – 3)} = 1/9

29. Решите уравнение: 3log²₂ sin x + log₂(1 – cos 2x) = 2

sova

19 мая 2020 г. в 17:44

★

27.

x >0


Логарифмируем по основанию 10:

lg(x^lgx)=lg10 000

lgx·lgx=4

lg²x=4

lgx=–2 или lgx=2

x=10^–2 или x=10²

О т в е т. 0,01; 100

28.

b]x >0[/b]


Логарифмируем по основанию 3:

log₃(x^log₃x–2)=log₃(1/9)


(log₃x–3)·log₃x=–2

log²_x3–3log₃x+2=0

D=(–3)²–4·2=1

log₃x=1 или log₃x=2

x=3¹ или x=3²

О т в е т. 3;9

29.
ОДЗ:
{sinx>0 ⇒ x в первой или во второй четверти, x ≠ πk, k ∈ Z
{1–cos2x>0 ⇒ cos2x < 1 ⇒ cos2x ≠ 1 ⇒ x ≠ πk, k ∈ Z


1–cos2x=2sin²x

Уравнение можно записать так:

3log²₂sinx+log₂2sin²x=2

3log²₂sinx+log₂2+log₂sin²x=2

3log²₂sinx+1+2log₂sinx=2

3log²₂sinx+2log₂sinx–1=0

D=2²–4·3·(–1)=4+12=16

log₂sinx=–1 или log₂sinx=1/3


sinx=2^–1 или sinx=2^1/3

sinx=1/2 или sinx=∛2 ( не имеет корней, |sinx| ≤ 1)

x=(–1)ⁿarcsin(1/2)+πn, n ∈ Z – удовл. ОДЗ


О т в е т. x=(–1)ⁿarcsin(1/2)+πn, n ∈ Z