Задача 28419 y''- 10y'+25y = 9 * e^2x, y(0) = 2, y'...
Условие
Все решения
k^2-10k+25=0
(k-5)^2=0
k_(1)=k_(2)=5 - корень кратный, поэтому частное решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами принимает вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(5x)+C_(2)x*e^(5x) - общее решение однородного уравнения
Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение
находим в виде
y_(частное)=Аe^(2x)
y`_(частное)=2Ae^(2x)
y``_(частное)=4Ae^(2x)
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
4Ae^(2x) - 10 *2Ae^(2x)+25Ae^(2x)=9*e^(2x)
9Ae^(2x)=9e^(2x)
A=1
y=C_(1)e^(5x)+C_(2)x*e^(5x) +e^(2x) - общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем задачу Коши
y(0) = 2, y' (0) =7
Подставляем в общее решение неоднородного уравнения вместо х=0, вместо у=1
2=C_(1)+1
C_(1)=1
Находим
y`=5C_(1)e^(5x)+C_(2)e^(5x)+5C_(2)xe^(5x) +2e^(2x)
Подставляем вместо х=0, вместо y`=7
7=5C_(1)+C_(2)+0+2
C_(2)=0
y=e^(5x)+e^(2x) - решение задачи Коши.
