Задача 38037 ...

vk93575612

2019-06-09 01:11:14

1.22 Вычислить интеграл
а) ∫(корень 3ей степени(1+корень 4ой степени(x))/sqrt(x) dx б) ∫ tg^5xdx. Смотреть фото. Можно с подробностями или с объяснением, пожалуйста.

sova

2019-06-09 10:17:38

★

a) Дифференциальный бином.
См. приложение подстановки( Чебышева)

m=-1/2; n=1/4; p=1/3

(m+1)/n=(1/2)/(1/4)=2 - цело число

Значит, подстановка имеет вид ( см. пункт 2)

1+x^(1/4)=t^3
x^(1/4)=t^3-1
x=(t^3-1)^4
sqrt(x)=(t^3-1)^2
dx=4(t^3-1)^3*(t^3-1)`dt
dx=12t^2(t^3-1)^3dt

Тогда интеграл примет вид
∫ (t/(t^3-1)^2)*12t^2(t^3-1)^3dt= 12 ∫ t^3*(t^3-1)dt=

=13 ∫(t^6-t^3)dt=12*(t^7/7)-12*(t^4/4) + C

t=∛(1+x^(1/4))

б)
Так как
1+tg^2x=1/cos^2x
и
tg^5x=tg^3x*tg^2x=tg^3x*((1/cos^2x)-1)=(tg^3x/cos^2x) - tg^3x
и
tg^3x=tg^2x*tgx=((1/cos^2x)-1)*tgx=(tgx/cos^2x)-tgx

Итак,
tg^5x=(tg^3x/cos^2x) -(tgx/cos^2x)+tgx

∫ tg^5xdx= ∫ (tg^3xdxcos^2x) - ∫(tgxdx/cos^2x)+ ∫ tgxdx=

= ∫ tg^3xd(tgx)- ∫ tgxd(tgx)- ∫ d(cosx)/cosx=

=((tg^4x)/4)-((tg^2x)/2)-ln|cosx|+C