Задача 10979 В правильной шестиугольной пирамиде...

slava191

28.10.2016

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF со стороной основания 2 и боковым ребром 3 точка М делит ребро SD в отношении 1 : 2 (считая от вершины S).

а) Постройте угол между прямой ВМ и плоскостью АЕС.
б) Найдите величину этого угла.

SOVA

28.10.2016

★

Пирамида правильная, высота пирамиды проектируется в центр О.
Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников(см рисунок). Поэтому
AD=BE=CF=4
BТ=ТЕ=sqrt(3)
Из треугольника SDO по теореме Пифагора
SO^2=SD^2-OD^2=3^2-2^2=5
SO=sqrt(5)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Плоскость АЕС- плоскость основания ABCDEF.
Проводим МК||SO.
ВK- проекция ВМ на плоскость АВСDEF.
∠MBK- угол между прямой ВМ и плоскостью АЕС.
По теореме Фалеса
ОК:КD=1:2
ОD=2
Значит OK=(1/3)OD=2/3
Из подобия треугольников SOD и KMD
МK:SO=DM:SD
MK:sqrt(5)=2:3
MK=2sqrt(5)/3

По теореме Пифагора из треугольника ВТК:
ВК^2=BT^2+TK^2=(sqrt(3))^2+(5/3)^2=52/9
BK=2sqrt(13)/3
tg∠МВК=2sqrt(5)/3 :2sqrt(13)/3=sqrt(5/13)
О т в е т. arctg(sqrt(5/13)).