Задача 37799 ...

alexander1962

2019-05-30 10:25:54

Решите неравенство: log(x+2)(2x^2-x-1) ≤ log(x-1)(x^2+2x+3) / log(x-1)(x+2)

sova

2019-05-30 10:59:14

★

ОДЗ:
{x+2>0; x+2 ≠ 1 ⇒ x ∈ (-2;-1)U(-1;+ ∞)
{x-1>0; x-1 ≠ 1⇒ x ∈ (1;2)U(2;+ ∞)
{2x^2-x-1 > 0 ⇒ D=9; корни (-1/2) и 1 ⇒ x < -1/2 или х >1
{x^2+2x+3 >0 ⇒ D=4-12< 0 неравенство верно при любом х
{log_(x-1)(x+2) ≠ 0 ⇒ x+2 ≠ 1 см первую строку.

ОДЗ: x ∈ (1;2)U(2;+ ∞)

По формуле перехода к другому основанию
log_(x–1)(x2+2x+3)/ log_(x–1)(x+2)=log_(x+2)(x^2+2x+3)

Неравенство принимает вид:
log_(x+2)(2x^2–x–1) ≤ log_(x+2)(x^2+2x+3)

Так как при х ∈ (1;2)U(2;+ ∞)
основание логарифмической функции
x+2 > 1, то логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента

2x^2-x-1 ≤ x^2+2x+3

x^2-3x-4 ≤ 0

D=25

корни
-1 и 4

решение неравенства
-1 ≤ x ≤ 4

С учетом ОДЗ
о т в е т. (1;2)U(2;4]