Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 10708 Найдите все значения а, при каждом из...

Условие

Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства (a-(a^2-2a-3)cosx+4)/(sin^2x+a^2+1) < 1 содержит отрезок [-Pi/3; Pi/2]

математика 10-11 класс 18750

Решение

Так как sin^2x+a^2+1 > 0 при всех х и а, умножим обе части неравенства на sin^2x+a^2+1.
Неравенство примет вид:
a-(a^2-2a-3)cosx+4 < sin^2x+a^2+1.
sin^2x=1-cos^2x;
cos^2x-(a^2-2a-3)cosx+2+a-a^2 < 0
На [-π/3; π/2] множество значений функции у=cosx равно [0;1].
Обозначим сosx=t.
Переформулируем задачу.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых t^2-(a^2-2a-3)t+2+a-a^2 < 0 при всех t∈[0;1]
Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы квадратичная функция f(t)=t^2-(a^2-2a-3)t+2+a-a^2 , графиком которой является парабола, ветви направлены вверх, была расположена ниже оси оси на [0;1].
Это условие принимает вид
{f(0) < 0
{f(1) < 0

Тогда для всех точек t∈[0;1]
будет выполняться неравенство: f(t) < 0

[a^2+a+2 < 0;
{-2a^2+3a+6 < 0
или
{a^2-a-2 > 0; D=1+8=9 корни -1 и 2
{2a^2-3a-6 > 0 D=9-4•2•(-6)=9+48=57
корни (3-√57)/4 и (3+√57)/4

___((3-√57)/4)___(-1)_____(2)_____((3-√57)/4)

О т в е т. (-∞; (3-√57)/4)U((3+√57)/4;+∞)

Вопросы к решению (3)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК