Задача 49674 ...

vk509606274

8 мая 2020 г. в 20:29

Решите иррациональное неравенство

1 / (8x² + 6x) ≥ 1 / (√8x² + 6x + 1 – 1)

sova

8 мая 2020 г. в 20:40

Замена переменной:

√8x²+6x+1=t , t ≥ 0

Возводим в квадрат:

8x²+6x+1=t² ⇒ 8x²+6x=t²–1

Неравенство принимает вид:

[m]\frac{1}{t^2-1} ≥ \frac{1}{t-1}[/m]

[m]\frac{1}{t^2-1} - \frac{1}{t-1} ≥ 0[/m]

[m]\frac{1-t-1}{t^2-1} ≥ 0[/m]

[m]\frac{t}{t^2-1} ≤ 0[/m]

c учётом t ≥ 0

[0] __–__ (1) __+_

0 ≤ t <1

Обратный переход:

0 ≤ √8x²+6x+1 < 1

0 ≤ √8x²+6x+1 < 1 ⇒ 0 ≤ 8x²+6x+1 <1

Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

[m]\left\{\begin{matrix} 8x^2+6x+1 <1\\ 8x^2+6x+1 \geq 0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} 8x^2+6x <0\\ 8x^2+6x+1 \geq 0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} 2x\cdot (4x+3) <0\\ (2x+1)(4x+1) \geq 0 \end{matrix}\right.[/m]

Решаем каждое методом интервалов:

____ (–[m]\frac{3}{4}[/m]) _________–________ (0) ___

О т в е т первого неравенства системы:( –[m]\frac{3}{4}[/m];0)

_____+____ [–[m]\frac{1}{2}[/m]] ____ [–[m]\frac{1}{4}[/m]] __+__

О т в е т второго неравенства системы:( – ∞ ;–[m]\frac{1}{2}[/m]]U[–[m]\frac{1}{4}[/m]+ ∞ )

Пересечение ответов первого и второго неравенства:
(–[m]\frac{3}{4}[/m]; –[m]\frac{1}{2}[/m]] U [–[m]\frac{1}{4}[/m];0)


О т в е т. (–[m]\frac{3}{4}[/m]; –[m]\frac{1}{2}[/m]] U [–[m]\frac{1}{4}[/m];0)