Задача 21939 Решите неравенство log34-4x >...

slava191

1 февраля 2018 г. в 00:00

Решите неравенство log₃4–4x > log₃(4·3^1–2x–5)

SOVA

1 февраля 2018 г. в 00:00

★

ОДЗ:
4·3^1–2x–5 > 0 ⇒ 4·3^2x·3^1–2x > 5·3^2x;
12 > 5·3^2x;
3^2x < 12/5
9^x < (12/5)
x < log₉ (12/5)


Перепишем уравнение так:
log₃ > 4x+ log₃(4·3^1–2x–5)

Так как
log₃3^4x=4x

log₃4 > log₃3^4x +log₃(4·3^1–2x–5)

Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log₃4 > log₃3^4x ·4·3^1–2x–5)
Логарифмическая функция с основанием 3 монотонно возрастает, поэтому
4 > 3^4x·3^1–2x–5

4 > 3^4x+1–2x –5·3^4x
4 > 3^1+2x–5·3^4x

Замена переменной
3^2x=t
t > 0
Квадратное неравенство
5t²–12t+4 > 0
D=(–12)²–4·5·4=144–80=64
t1=2/5 или t2=2

3^2x < 2/5 или 3^2x > 2
9^x < (2/5) или 9^x > 2

x < log₉(2/5) или x > log₉2

C учетом ОДЗ получаем ответ.
О т в е т. (–∞; log₉(2/5)) U (log₉ 2; log₉ (12/5))