Задача 32298 Провести полное исследование...

feshown

2018-12-22 14:38:56

Провести полное исследование функции(методами дифференциального исчисления) и построить график:
1)Область определения
2)четная или нечетная
3)переодическая или нет
4)нули функции
5)асимптоты(если есть)
и т.д.

sova

2018-12-22 14:58:45

★

1)Область определения:
cosx > 0 ⇒
x ∈ ((-π/2)+2πm, (π/2)+2πm), m ∈ Z

2) функция четная
y(-x)=ln(cos(-x))=ln(cosx)=y(x)

3) Функция периодическая

y(x+T)=y(x)

T=2π

ln(cosx+2π)=lncosx

4) lncosx=0
cosx=e^(0)
cosx=1
x=2πk, k ∈ Z

5) Вертикальные асимптоты следует искать в крайних точках области определения

lim_(x→ - (π/2)+2πk)+0)=+ ∞

lim_(x→ (π/2)+2πk)-0)=+ ∞

x=±(π/2)+2πk - вертикальные асимптоты

6)
y`=(1/cosx)*(cosx)`

y`=(-sinx)/cosx

y`=-tgx

y`=0

tgx=0

x=πn, n ∈ Z

Области определения принадлежат точки c четным n=2m


Знак производной
((-π/2)+2πm) _+__ (2πm) __-_ ( (π/2)+2πm), m ∈ Z

y`>0 на ((-π/2)+2πm;2πm), m ∈ Z
Функция возрастает на ((-π/2)+2πm;2πm), m ∈ Z

y`< 0 на (2πm;(π/2)+2πm), m ∈ Z
Функция убывает на ((-π/2)+2πm;2πm), m ∈ Z

Точки

x=2πm, m ∈ Z - точки максимума, производная меняет знак с + на -
7) y``=(-tgx)`=-1/cos^2x> 0 при любом х ∈ ((-π/2)+2πm, (π/2)+2πm), m ∈ Z

Функция выпукла вверх на каждом интервале

((-π/2)+2πm, (π/2)+2πm), m ∈ Z