Задача 40961 Постройте график функции y=f(x), найдите...

ultraman

24 октября 2019 г. в 20:50

Постройте график функции y=f(x), найдите функцию y=g(x), обратную к функции y=f(x), и постройте её график.

sova

24 октября 2019 г. в 22:24

★

a)
y=1+[m]\frac{4}{x-2}[/m]

x ∈ (– ∞ ;2) ⇒ y ∈ (– ∞;1)
левая ветвь гиперболы.
(см. рис.1)

меняем х и у местами
x=1+[m]\frac{4}{y-2}[/m]

находим как из уравнения y

x–1=[m]\frac{4}{y-2}[/m]

y–2=[m]\frac{4}{x-1}[/m]

y=2+[m]\frac{4}{x-1}[/m] – обратная функция (левая ветвь гиперболы синего цвета)

x ∈ (– ∞;1) и y ∈ (– ∞ ;2)

Графики симметричны относительно у=х – биссектрисы 1 и 3 координатных углов ( рис.2)

б)
[m]y=(\frac{1}{4})^{x-2}[/m] – график зеленого цвета (см.рис. 3)

Обратная функция:

[m]x=(\frac{1}{4})^{y-2}[/m] ⇒[m]y-2=log_{\frac{1}{4}}x[/m]

[m]y=2+log_{\frac{1}{4}}x[/m] график фиолетового цвета

Графики симметричны относительно биссектрисы у=х– биссектрисы 1 и 3 координатных углов

в)
[m]y=log_{2}(x-3)[/m]

Обратная функция:

[m]x=log_{2}(y-3)[/m] ⇒ y–3=2^x ⇒ y=2^x+3

cм. рис. 4

г)
y=√16–(x+2)²
x ∈ [–6;–2]

Возводим в квадрат
x²+(y+2)²=16 – это уравнение окружности с центром (0;–2)
R=4 (cм. рис. 5)

y=√16–(x+2)²
x ∈ [–6;–2]
четвертая часть окружности ( рис. 6)
x ∈ [–6;–2]
y ∈ [0;4]

Обратная функция

x=√16–(y+2)² ⇒

y+2=–√16–x²
y=–2–√16–x²
y∈ [–6;–2]; x ∈ [0;4] – четвертая часть окружности
x²+(y+2)²=16
(рис. 7)