Задача 52993 1.Окружность проходящая через вершины А...
Условие
2. Дана арифметическая прогрессия . Ее двадцатый член равен 1, а член с номером 2000 равен 199. Найдите член этой прогрессии с номером 2020
Все решения
1 способ
∠ B=90 ° ⇒ AE- диаметр, значит ∠ EFA=90 ° как угол, опирающийся на диаметр.
Пусть AD пересекает окружность в точке К.
Значит, ∠ АКЕ =90 °
Так как BC||AD, то ABEK - прямоугольник, вписанный в окружность
BE=AK=8
Значит KD=EC=4
По свойству секущих, проведенных из точки D к окружности:
DF*DE=DA*DK
Из подобия Δ ECF и Δ ADF
EF:DF=BC:AD=4:12=1:3 ⇒ DE=3EF и DE=4FE
DF*DE=DA*DK ⇒ 3EF*4EF=12*4 ⇒ EF=2
DE=4EF=4*2=8
CD^2=DE^2-СE^2=8^2-4^2=64-16=[b]48[/b]
AB=CD=sqrt(48)=[b]4sqrt(3)[/b]
Тогда из Δ АВЕ:
АЕ^2=AB^2+BE^2=48+8^2=48+64=112
Из Δ АЕF:
AF^2=AE^2_EF^2=112-4=108
AF=sqrt(108)=6sqrt(3)
S_(ABEF)=S(ABE)+S(AEF)=(1/2)AB*BE+(1/2) AF*FE=
=(1/2)8*4sqrt(3)+(1/2)6sqrt(3)*2=16sqrt(3)+6sqrt(3)=[b]22sqrt(3)[/b]
2 способ.
∠ B=90 ° ⇒ AE- диаметр, значит ∠ EFA=90 ° как угол, опирающийся на диаметр.
⇒ AC ⊥ ED
AECD- Трапеция, [i]диагонали которой перпендикулярны.[/i]
Проведем СP || ED
Получим прямоугольный треугольник АСР
Высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное отрезками гипотенузы.
H=sqrt(12*4)=sqrt(48)=4sqrt(3)
Тогда DE=sqrt(4^2+48)=sqrt(64)=8
Из подобия ECF и ADF
EF:FD=BC:AD=4:12
FD=3EF
FE=4FE
Значит
FD=6; EF=2
AF^2=AE^2-EF^2= ( 8^2+48)=112-4=108
AF=sqrt(108)=6sqrt(3)
S_(ABEF)=S(ABE)+S(AEF)=(1/2)AB*BE+(1/2) AF*FE=
=(1/2)8*4sqrt(3)+(1/2)6sqrt(3)*2=16sqrt(3)+6sqrt(3)=[b]22sqrt(3)[/b]
[b]2.[/b]
[m] a_{20}=a_{1}+19d[/m]
[m] a_{2000}=a_{1}+1999d[/m]
Решаем систему:
{[m]a_{1}+19d=1[/m]
{[m]a_{1}+1999d=199[/m]
Вычитаем из второго первое:
1980 d=198
d=0,1
a=-0,9
[m] a_{2020}=a_{1}+2019d=-0,9+0,1\cdot 2019=-201[/m]
