Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 18258 В треугольнике АВС точка Д делит сторону...

Условие

В треугольнике АВС точка Д делит сторону ВС в отношении ВД:ДС=3:4. Точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=2:5. Отрезки АД и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника ВКД равна 45.

математика 8-9 класс 11640

Решение

ВД:ДС=3:4 ⇒ BД=3х; ДС=4х

АМ:МС=2:5. ⇒ AM=2y; MC=5y

Проведем ДЕ || ВМ

По теореме Фалеса
CД:ДВ=СЕ:ЕM=4:3
CM=5y

Отрезок СМ разделен на (4+3)=7частей, значит
СЕ=(4/7)CM=(4/7)*5y=20y/7
ЕM=(3/7)CM=(3/7)*5y=15y/7

По теореме Фалеса

AK: КД=АМ:MЕ=2y:(15y/7)=14:15

Аналогично.

Проведем MF || AД

По теореме Фалеса
CF:FД=СM:MA=5:2
CД=4х

Отрезок СД разделен на (5+2)=7 частей, значит
СF=(5/7)CД=(5/7)*4х=20х/7
FД=(2/7)CД=(2/7)*4х=8х/7

По теореме Фалеса
BK:KM=ВД:ДF=3x:(8х/7)=21:8


Итак,
AK: КД=14:15 ⇒ [b]КД=15р[/b] и [b]АК=14р[/b]
BK:KM=21:8⇒ [b] ВК=21k [/b] и [b]KM=8k[/b]

S( Δ BKД)=(1/2)ВК*КД*sin ∠ ВКД
S( Δ АKМ)=(1/2)АК*КМ*sin∠ АКМ

Так как
[b]∠ ВКД=∠ АКМ,[/b] то

[m]\frac{S( Δ BKД)}{S( Δ АKМ)}=\frac{ВК\cdot КД}{АК\cdot КМ}=

=\frac{21k\cdot 15p}{14p\cdot 8k}=\frac{45}{16}[/m]


По условию
S( Δ BKД)=45
Значит
S( Δ АKМ)=16
О т в е т. 16

Вопросы к решению (2)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК