АМ:МС=2:5. ⇒ AM=2y; MC=5y
Проведем ДЕ || ВМ
По теореме Фалеса
CД:ДВ=СЕ:ЕM=4:3
CM=5y
Отрезок СМ разделен на (4+3)=7частей, значит
СЕ=(4/7)CM=(4/7)*5y=20y/7
ЕM=(3/7)CM=(3/7)*5y=15y/7
По теореме Фалеса
AK: КД=АМ:MЕ=2y:(15y/7)=14:15
Аналогично.
Проведем MF || AД
По теореме Фалеса
CF:FД=СM:MA=5:2
CД=4х
Отрезок СД разделен на (5+2)=7 частей, значит
СF=(5/7)CД=(5/7)*4х=20х/7
FД=(2/7)CД=(2/7)*4х=8х/7
По теореме Фалеса
BK:KM=ВД:ДF=3x:(8х/7)=21:8
Итак,
AK: КД=14:15 ⇒ [b]КД=15р[/b] и [b]АК=14р[/b]
BK:KM=21:8⇒ [b] ВК=21k [/b] и [b]KM=8k[/b]
S( Δ BKД)=(1/2)ВК*КД*sin ∠ ВКД
S( Δ АKМ)=(1/2)АК*КМ*sin∠ АКМ
Так как
[b]∠ ВКД=∠ АКМ,[/b] то
[m]\frac{S( Δ BKД)}{S( Δ АKМ)}=\frac{ВК\cdot КД}{АК\cdot КМ}=
=\frac{21k\cdot 15p}{14p\cdot 8k}=\frac{45}{16}[/m]
По условию
S( Δ BKД)=45
Значит
S( Δ АKМ)=16
О т в е т. 16