Задача 29031 ...
Условие
Решение
D=p^2-4*3p^4 > 0
p^2*(1-12p^2) > 0 ⇒ 1-12p^2 > 0 ⇒
[b] -1/sqrt(12) < p < 1/sqrt(12) [/b]
По теореме Виета
x_(1)+x_(2)=-p
x_(1)*x_(2)=3p^4
Найдем как выражается разность корней через p.
Возведем первое равенство в квадрат:
x^2_(1)+2*x_(1)*x_(2)+x^2_(2)=p^2
Отнимем от обеих частей 4x_(1)*x_(2)
x^2_(1)+2*x_(1)*x_(2)+x^2_(2)-4x_(1)*x_(2)=p^2-4x_(1)*x_(2)
x^2_(1) - 2*x_(1)*x_(2) + x^2_(2) = p^2 - 4*3p^4
(x_(1) - x_(2))^2 = p^2 - 12p^4
Разность между корнями наибольшая, когда квадрат этой разности наибольший.
Исследуем функцию
y=p^2 - 12p^4
на экстремум.
y`=2p-48p^3
y`=0
2p - 48p^3=0
2p*(1-24p^2)=0
p=0 или 1 - 24p^2 = 0 ⇒ p = ± 1/sqrt(24)
[b] -1/sqrt(12) < 0 < 1/sqrt(12) [/b]
и
[b] -1/sqrt(12) < -1/sqrt(24) < 1/sqrt(12) [/b]
и
[b] -1/sqrt(12) < 1/sqrt(24) < 1/sqrt(12) [/b]
Но при p=0 уравнение принимает вид:
x^2=0
Оба корня уравнения равны 0
Разность равна 0
При р = ± sqrt(1/24)
|x_(1)-(x_(2)| = sqrt(p^2-3p^4)=
=sqrt((1/24)-(3/576))= sqrt(21)/24 - наибольшее значение разности.
О т в е т. При p=± 1/sqrt(24)