Задача 32520 Показать, что данное выражение является...

katesmett

2019-01-03 08:42:04

Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции u(x,y). Найти функцию u(x,y).

(x+y)/(x*y)dx+(y-x)/(y^2)dy

sova

2019-01-03 11:27:12

★

P(x;y)dx+Q(x;y)dy
является полным дифференциалом, если
∂P/∂y=∂Q/∂x.

∂P/∂y=((x+y)/(xy))`_(y)=((x+y)`_(y)*(xy)-(xy)`_(y)*(x+y))/(xy)^2= -x^2/(xy)^2= - 1/y^2

∂Q/∂x=(1/y^2)*(y-x)`_(x)=(1/y^2)*(-1)=-1/y^2
∂P/∂y=∂Q/∂x

Данное уравнение - уравнение в полных дифференциалах
Это значит
∂U/∂x=P(x;y)
∂U/∂y=Q(x;y)

Зная, частные производные можем найти U(x;y)

U(x;y)= ∫ (∂U/∂x)dx= ∫ P(x;y)dx= ∫ (x+y)dx/(xy)=

=(1/y) ∫ (x+y)dx/x=(1/y) ∫ (1+(y/x))dx=(1/y)*x+(1/y)*yln|x|+ φ (y)=

=(x/y)+ln|x|+ φ(y)

Находим
∂U/∂y= ((x/y)+ln|x|+ φ(y))`_(y)=x*(1/y)`+0+ φ `(y)= (-x/y^2)+φ `(y)
Так как
∂U/∂y=Q(x;y)
то
(-x/y^2)+φ `(y) =(y-x)/y^2;

⇒
φ `(y)=1/y

φ(y)=ln|y|+C

U(x;y)=(x/y)+ln|x|+ φ(y)=(x/y)+ln|x|+ln|y|+C


О т в е т.U(x;y)=(x/y)+ln|x*y|+C