Задача 22046 Найдите наименьшее значение функции y =...

u1765921243

06.01.2018

Найдите наименьшее значение функции y = e^(2x)-8e^x+1 на отрезке [0;2]

Ответ: -15

SOVA

06.01.2018

★

y`=(e^(2x))`-8*(e^x)`+(1)`
Производная e^(2x) считается по правилу производной сложной функции.

y`=e^(2x)*(2x)`-8*e^x
y`=2e^(2x)-8*e^x
y`=0
2e^(2x)-8*e^x=0
2*e^x*(e^x-4)=0

e^x > 0 поэтому e^x-4=0 ⇒ e^x=4 x=ln4

1=lne < ln4 < lne^2=2

[0] ____-___ (ln 4) __+_ [2]

x=ln4 - точка минимума, производная меняет знак с - на +.

y(ln4)=(e^(ln4))^2-8*e^(ln4)+1=

применяем основное логарифмическое тождество
a^(log(a)b)=b, a > 0; b > 0, a≠1

=(4)^2-8*4+1=
=16-32+1=-15 - наименьшее значение на [0;2]