Задача 22046 Найдите наименьшее значение функции y =...

u1765921243

1 июня 2018 г. в 00:00

Найдите наименьшее значение функции y = e^2x–8e^x+1 на отрезке [0;2]

Ответ: -15

SOVA

1 июня 2018 г. в 00:00

★

y`=(e<sup>2x</sup>)`–8·(e^x)`+(1)`
Производная e^2x считается по правилу производной сложной функции.

y`=e<sup>2x</sup>·(2x)`–8·e^x
y`=2e<sup>2x</sup>–8·e<sup>x</sup>
y`=0
2e^2x–8·e^x=0
2·e^x·(e^x–4)=0

e^x > 0 поэтому e^x–4=0 ⇒ e^x=4 x=ln4

1=lne < ln4 < lne²=2

[0] ____–___ (ln 4) __+_ [2]

x=ln4 – точка минимума, производная меняет знак с – на +.

y(ln4)=(e^ln4)²–8·e^ln4+1=

применяем основное логарифмическое тождество
a^log_ab=b, a > 0; b > 0, a≠1

=(4)²–8·4+1=
=16–32+1=–15 – наименьшее значение на [0;2]