Задача 36465 Решить неравенство (ЕГЭ профиль)...
Условие
Все решения
{x-1>0 ⇒ x>1
{x-1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
{x/6>0 ⇒ x>0
{log_(x-1)(x/6) ≠ 0 ⇒ x/6 ≠ 1 ⇒ x ≠ 6
x ∈ (1;2)U(2;6)U(6;+ ∞)
(1) / (log_(x-1)(x/6)) + 1 ≥ 0
(1+log_(x-1)(x/6)) / log_(x-1)(x/6) ≥ 0
1=log_(x-1)(x-1)
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения
log_(x-1)((x-1)*(x/6)) / log_(x-1)(x/6) ≥ 0
Применяем формулу перехода к другому основанию
log_(c)b/log_(c)a=log_(a)b
log_(x/6)((x-1)*(x/6)) ≥ 0
[b]Применяем метод рационализации логарифмических неравенств[/b]. Это [b]таблица перехода[/b] от одного сложного неравенства с логарифмами к простому рациональному неравенству.
((х/6)- 1)*(( x-1)*(x/6) -1) ≥ 0
Умножаем на 36:
(x-6)*(x^2-x-6) ≥ 0
(x-6)*(x+2)(x-3) ≥ 0
Решаем методом интервалов
___ [-2] _____+____ [3] ___-__ [6] ___+__
[-2;3] U[6;+ ∞ )
C учетом ОДЗ:
о т в е т. (1;2) U(2;3] U(6;+ ∞)
Р.S.
Метод рационализации логарифмических неравенств придуман
умными людьми, которые заметили, что рассмотрение друх случаев
1)
{ (x/6) < 1 - логарифмическая функция убывает и тогда
{x-1≤ 6/x
2)
{ (x/6) >1 - логарифмическая функция возрастает и тогда
{x-1 ≥ 6/x
Если внимательно посмотреть, то первая система
{(x/6)-1 <0
{x-1-(6/x)≤ 0
и вторая система
{(x/6)-1 >0
{x-1-(6/x) ≥0
состоят из одинаковых выражений
В первой оба выражения отрицательны, во второй положительны.
Это означает, что произведение выражений положительно.
Что легко записывается в виде одного неравенства
((x/6)-1)*(x-1-(6/x))≥0
которое легко получается после таких рассуждений.
Это и называется методом рационализации - методом экономного расходования времени на экзамене.
