Задача 32409 Требуется: 1) построить на плоскости XOY...

vk444734150

24 декабря 2018 г. в 23:15

Требуется:
1) построить на плоскости XOY область интегрирования заданного интервала;
2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном
и при измененном порядках интегрирования.

sova

25 декабря 2018 г. в 09:35

★

А

Дано. Вертикальная область интегрирования
0 ≤ x ≤ 4; x²/2 ≤ y ≤ 4√x

Полоса, ограничена вертикальнымипрямыми
x=0 и х=4
и кривыми
y=x²/2 и y=4√x

Cм. рисунок слева

Рисунок справа, горизонтальная полоса , ограничена прямыми
у =0 и у= 8
и уравнения кривых получим из данных уравнений, выразим х через у
y=x²/2 ⇒ 2y=x² ⇒ x=√2y
y=4√x ⇒ y²=16x ⇒ x=(1/16)y²

О т в е т. ∫ ⁸₀dy ∫ ^(√2y_y²/16dx

S= ∫⁴₀dx ∫ ^4√x_x²/2dy=

= ∫⁴₀y|^4√x_x²/2dx=

=∫⁴₀(4√x–(x²/2))dx=

=4x^3/2/(3/2)|⁴₀– (x³/6)|⁴₀=

=(8/3)·4^3/2–(4³/6)=(64/3)–(64/6)=64/6=32/3


S= ∫ ⁸₀dy ∫ ^(√2y_y²/16dx=

=∫ ⁸₀ x|^(√2y_y²/16dy=

=∫ ⁸₀ (√2y– (y²/16))dy=

=√2(y^3/2/(3/2))|⁸₀ – (y³/48)|⁸₀=

=(2√2/3)·8^3/2–(512/48)=

=(2√2/3)·16√2–(32/3)=

=(64/3)–(32/3)=32/3